Краткая теория. Системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется совокупность дифференциальных уравнений

Системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется совокупность дифференциальных уравнений

(12.62)

где y₁, y₂,..., y_n -- неизвестные функции независимой переменной x;

a_ik (i, k=1,2,3,…,n) - постоянные величины.

Если при всех рассматриваемых значениях x все данные функции

f_k(x) ≡ 0 (k=1,2,3, …,n), то система (1) называется однородной, в противном случае - неоднородной.

Решением системы (1) называется система n функций

y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), …, y_n = y_n(x), (12.63)

обращающих равенства (12.62) в тождества.

Задача Коши. Найти такое решение (2) системы (1), которое

при x = x₀ принимало бы заданные значения

…,

Методом исключения (n-1) неизвестных функций система (12.62) может быть сведена к дифференциальному уравнению n -го порядка относительно одной из неизвестных функций.

1. Решить систему уравнений:

Найти решение, удовлетворяющее условию: y = 2, z = 0 при x = 0

Дифференцируя по x первое уравнение и подставляя выражения для первых производных из данной системы, получим

(A)

Из первого уравнения системы найдем z:

(В)

Подставляя выражение (B) в уравнение (A), находим

или y'' - 10y' + 9у = 0.

Решая это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, получим у = C₁e^x+C₂e^9x. (C)

Функция z выражается формулой (B), для чего находим

y'= C₁e^x+9C₂e^9x.

Следовательно,

Общее решение системы:

у = C₁e^x+C₂e^9x; z = - C₁e^x+C₂e^9x. (D)

Решим задачу Коши, т.е. найдем решение, удовлетворяющее условию y = 2,

z = 0 при x = 0. Подставляя эти значения в систему (D), получим

откуда C₁ = 1, C₂ = 1. Итак, получено частное решение

y = e^x + e^9x; z = -e^x + e^9x.

Решить линейные однородные системы с постоянными коэффициентами:

12.79.

12.81.

12.80.

12.82.

Решить линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами:

12.83.

12.84.

Решить линейные однородные системы с постоянными коэффициентами:

12.85.

12.86.

12.13. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике