Краткая теория. Рассмотрим примеры применения дифференциальных уравнений для описания (простейших) процессов макроэкономической динамики

Рассмотрим примеры применения дифференциальных уравнений для описания (простейших) процессов макроэкономической динамики.

Пусть y = y(t) – объем производства некоторого производителя, реализованный к моменту времени t. Предположим, что цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция y = y(t) удовлетворяет уравнению: (12.64)

где k = mpl, m – норма инвестиций, p – продажная цена, l – коэффициент пропорциональности между величиной инвестиции и скоростью выпуска продукции (см. учебник).

Уравнение (12.64) является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид: (12.65)

где

Уравнение (12.64) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.

12.90. Выяснить, по истечении какого промежутка времени объем реализованной продукции удвоится по сравнению с первоначальным, если значение коэффициента пропорциональности k в уравнении (12.64) равно 0,1. Насколько процентов следует увеличить норму инвестиций, чтобы промежуток времени, необходимого для удвоения объема реализованной продукции, уменьшился на 20%.

Решение. Полагая в (12.65) t ₀= 0, k = 0,1, y = 2 y ₀, приходим к равенству

откуда t =10 ln2 ≈ 6,93 (ед. времени). Полагая теперь, что t ₁= 0,8 t, получаем k ₁= k /0,8 =1,25 k, т.е. норму инвестиций следует увеличить на 25%.

Предположение о неизменности цены (о ненасыщаемости рынка) на практике оказывается справедливым лишь для узких временных интервалов. В общем случае цена p является убывающей функцией от объема y реализованной продукции (p = p (y)). Тогда уравнение (12.64) принимает вид: (12.66)

оставаясь тем не менее уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение вида (12.66) описывает также рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для этого роста, динамику развития эпидемий, процесс распространения рекламы и т.д.

12.91. Изменение численности населения горнорудного поселка с течением времени описывается уравнением:

где y = y (t), t – время (лет). В начальный момент времени население поселка оставляло 500 человек. Каким оно станет через три года?

Решение. Разделяя переменные в уравнении, приходим к равенству:

Выполняя почленное интегрирование этого равенства, получаем

или (12.67)

Значение постоянной С находим из начальных условий: так как y (0) = 500, то С ≈ 256,4. Выражая теперь функцию y из (12.67), получаем

Тогда

Напомним, что эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой В некоторых случаях представляет интерес функция спроса при данной эластичности.

12.92. Найти функцию спроса, если E_p = -2 = const и y (3) = 1/6.

Решение. Из определения эластичности следует, что

т.е. искомая функция задается уравнением с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получаем

Учитывая начальное условие y (3) = 1/6, имеем С = 2/3. Окончательно y =1,5 p^-2.

В простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается зависящим лишь от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.

12.93. Функции спроса и (соответственно) предложения имеют вид:

Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент p = 9.

Решение. Из условия равенства спроса и предложения имеем:

откуда

т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Решая это уравнение, приходим к функции

Из условия p (0) = 9 следует, что С = 1, так что окончательно

Заметим, что, поскольку цена обладает устойчивостью.

12.94. В условиях ненасыщаемости рынка найти объем производства по истечении 6 месяцев, если в начальный момент времени объем производства y ₀= y (0) =24 (усл. ед.), при норме инвестиций 0,6, продажной цене равной 0,15 (усл. ед.) и l =0,4.

12.95. Предполагая, что цена на товар задается функцией m = 0,6, l = 0,4, y (0) = 1, найти зависимость y = y (t) объема реализованной продукции от времени.

12.96. Известно, что рост числа y = y (t) жителей некоторого района описывается уравнением:

где m – максимально возможное число жителей для данного района. В начальный момент времени число жителей составляло 1% от максимального. Через какой промежуток времени число жителей составит 80% от максимального?

12.97. В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описывается уравнением:

где у – число заболевших в момент времени t; t – число недель. Сколько больных будет в поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных?

12.98. Найти функцию спроса у = у (р), если эластичность Е_р постоянна и задана цена р при некотором значении спроса у:

а) Е_р = -1/2, р = 5 при у = 2;

б) Е_р= -3, р = 2 при у = 27.

12.99. Найти функцию спроса, если известно значение цены р при некотором спросе у и эластичность имеет следующий вид:

а) 0 < у < 100, р = 90 при у = 10;