Построение фазовых траекторий. Методы построения

1. Численный метод

Реализуется наиболее просто, т.к. для каждого значения производную можно определить одним из приближенных методов

2. Метод изоклин. Приближенный метод, рассчитанный на реализацию без компьютера.

3. Аналитический метод

Метод заключается в исключении времени из дифференциальных уравнений, описывающих систему.

Проблема состоит в том, что не все полученные вследствие этой операции уравнения, просто решаются. Пример «хорошего» уравнения

.

Введем обозначение

или . Разделив левую часть последнего уравнения на , а правую на z, исключим время из уравнения:

Интегрирование возможно, если u является, например, дискретной функцией времени:

-a, x≤-b

= 0, -b<x<b

a, x≥b

Для этих 3-х случаев получаем 3 интеграла:

Константы получаем из начальных условий

,

- это начальные значения фазовой траектории, соответствующие начальному значению u.

Для построения графиков изобразим переходные процессы и весовые функции реального интегрирующего звена.

ka y u=+a

t

-ka u=-a

z

y

-ka

(1)

(2)

(3)

1) u=-a

z

y

-ka

, если , то =0.

2) u=0

z

y

3) u=+a

z

y

При изменении происходит изменение , и при достижении пороговых значений () изменяется управляющее воздействие (изменяется закон движения ).

Процесс дискретного изменения закона движения называется переключением. Кривые или поверхности, на которых происходит переключение закона движения, называются линиями или поверхностями переключения.

Фазовая поверхность, соответствующая одному управления, называется листом.

Если закон изменяется многократно, получаем многолистные фазовые поверхности, которые стыкуются по линиям переключения.

Для рассмотренного примера линия переключения определяется в основном типом регулятора.

1) В простейшем случае, если имеется пропорциональный регулятор.

Условие переключения: ,

Тогда

z

+a -a

y

+b -b

2) ПД-регулятор

+b -b

+a -a

+a

y

3) ПИД-регулятор

Линии переключения в данном случае можно пытаться получить, выражая интеграл из уравнения объекта, однако исключить время можно только в том случае, если в правой части уравнения будет стоять 0, что соответствует очень редким состояниям.

При численном построении фазовых траекторий линии переключения можно построить, фиксируя точки переключения, получаемые численным методом, и аппроксимируя промежутки между точками прямой линией, параболой и т.д. Эти линии переключения существенно зависят от начальных значений фазовых траекторий. Для разных начальных условий будут получены различные линии переключения.