Особые точки на фазовых портретах рассмотрим на примере звена второго порядка

Для консервативного звена:

1)

Делим 1-е уравнение на 2-е, получаем:

- уравнение эллипса ().

Очевидно, С может быть произвольным, зависящим от начальных условий.

z

a

-b b y

-a

Полученное множество замкнутых линий в виде эллипса образует фазовый портрет.

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

определяются начальными условиями и .

Если на фазовой характеристике имеются замкнутые циклы, переходный процесс будет представлять собой незатухающие колебания.

Центр замкнутого цикла, к которому сходятся фазовые траектории при уменьшении ng w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>y</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>0</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , называют особой точкой типа центр.

2)

)

y

t

z

t

Запишем уравнение фазовой траектории:

Получим нелинейное уравнение:

Построим фазовую траекторию по графикам и , исключая время t.

z

y

Как видно, если фазовая траектория, закручиваясь, сходится к некоторой точке на оси y, то переходный процесс будет колебательным и сходиться к соответствующему значению y.

Особая точка называется точкой типа фокус.

3)

s w:val="24"/></w:rPr><m:t>+y=0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Для случая введем обозначение:

z

y

Особая точка (начало координат), где пересекаются фазовые траектории, называется точкой типа узел. Если знак перед вторым слагаемым в уравнении «минус», то переходные процессы будут расходящиеся, если , то переходной процесс будет колебательным с амплитудой, возрастающей до бесконечности, а для переходной процесс апериодический, уходящий в бесконечность. Соответственно, особые точки - неустойчивый фокус и неустойчивый узел.

Если , а уравнение имеет вид:

Как видно, при увеличении t значения весовой и переходной функций уходят в бесконечность.

C=0,

z

y

Начальная точка называется особой точкой типа седло.