Функции двух переменных

Частным приращением функции в точке по переменной х называется выражение .

Частным приращением функции в точке по переменной у называется выражение .

Частной производной от функции по переменной х называется предел отношения частного приращения к приращению аргумента при стремлении к нулю.

Обозначают частные производные одним из символов

, или .

Итак, по определению .

Аналогично определяется частная производная по переменной у:

Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.

Пример. Найти частные производные функций:

а) ,

б) .

Решение. а) . Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, . Аналогично, дифференцируем по , считая постоянной, находим частную производную по : .

б) . При фиксированном имеем степенную функцию от . Таким образом, . При фиксированном функция является показательной относительно и .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (1)

где и – некоторые числа; и - бесконечно малые при , функции , то есть и .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по каждому аргументу и , причем , .