Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
-окрестностью точки называется круг, с центром в точке и радиусом .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой этой точки. Число А называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число (зависящее от ), такое, что для всех точек из -окрестности точки , выполняется неравенство .
Обозначается предел так: .
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число , найдется - окрестность точки , что во всех ее точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .
Пример. Найти предел .
Решение. Обозначим . Условие , равносильно тому, что . Тогда данный предел запишется в виде
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя
Полным приращением функции в точке называется выражение , где - любая точка из области определения функции.
Обозначим , , тогда
.
Функция называется непрерывной в точке , если ее полное приращение в этой точке стремится к нулю при и , то есть .