2015-03-22
350
Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
-окрестностью точки 
называется круг, с центром в точке 
и радиусом .
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой этой точки. Число А называется пределом функции при 
и 
(или в точке ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа 
, найдется положительное число 
(зависящее от 
), такое, что для всех точек из 
-окрестности точки , выполняется неравенство 
.
Обозначается предел так: 
.
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число , найдется 
- окрестность точки , что во всех ее точках 
, отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .
Пример. Найти предел 
.
Решение. Обозначим 
. Условие 
, 
равносильно тому, что 
. Тогда данный предел запишется в виде
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя
Полным приращением функции в точке называется выражение 
, где 
- любая точка из области определения функции.
Обозначим 
, 
, тогда
.
Функция называется непрерывной в точке , если ее полное приращение в этой точке стремится к нулю при 
и 
, то есть 
.
