Дифференцирование сложных функций

Пусть задана функция , где переменные и , в свою очередь, являются функциями независимой переменной . Тогда функция будет сложной функцией независимой переменной , а переменные и будут для нее промежуточными переменными.

Теорема. Если функции дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке , причем

. (1)

Пример. Найти , где .

Решение. Найдем сначала :

, ,

, .

Тогда, согласно формуле (1), имеем