Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при чем конец вектора и начало вектора совмещаются и обозначается: .

Пусть даны вектора и . (См. рис. 2)

Чтобы их сложить, то есть найти сумму этих векторов, необходимо нарисовать и в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора – второго слагаемого, совпало с концом вектора – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора с концом вектора будет суммой в том же масштабе, в котором представлены и .

Противоположным вектору называется такой вектор , который при сложении с вектором дает нуль-вектор, то есть .

Заметим, что разностью векторов и является сумма вектора и вектора , противоположного вектору , то есть .

Произведением вектора на число называется такой вектор , направление которого совпадает с вектором , если и противоположно направлению вектора , если ; длина же вектора в раз «больше» длины вектора , то есть