Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: , то есть

.

Свойства скалярного произведения:

1) ;

2) , ;

3) ;

4) или

. (2.1)

Пример. Найти длину вектора , если , , .

Решение. По формуле (2.1), находим

.

Ответ: .

Если два вектора и заданы своими координатами: и , то их скалярное произведение находим по формуле:

. (2.2)

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если и .

Решение. Координаты векторов и :

;

.

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:

.

Ответ: .

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Угол между двумя ненулевыми векторами и из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

или

(2.3)

Пример. Найти угол между векторами и .

Решение. Координаты векторов и : и .

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами и равен:

, следовательно, , то есть .

Ответ: .

2. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти , если и .

Решение. Координаты векторов , . Тогда

.

Ответ: .