Предел числовой последовательности

Функция , заданная на множестве всех натуральных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где элемент соответствует номеру . Будем задавать числовую последовательность формулой своего общего члена .

Пример. – числовая последовательность , так как – формула общего члена последовательности.

При : .

При : и т.д.

Пределом числовой последовательности называется конечное действительное число , если для любого сколь угодно малого числа существует такое натуральное число , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство . В краткой записи это выглядит так:

и обозначается: .

Определим – окрестность точки как множество всех , удовлетворяющих условию: , что эквивалентно двойному неравенству: .

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую – окрестность точки не взяли, найдется такой номер , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности к своему пределу будем обозначать как .

Пример. Доказать по определению, что .

Решение. Возьмем любое сколь угодно малое . Имеем: , когда или . Значит существует такой номер , равный целой части числа , то есть такое целое число , что , то есть , начиная с которого все последующие члены с номерами , , , ,... будут находиться в – окрестности точки , то есть в интервале . (См. рис.53). При , при .