Производная

Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение , получим точку . Найдем соответствующее приращение функции: . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента : и найдем предел этого отношения при , то есть . Если этот предел существует, то его называют производной функцией от данной функции и обозначают одним из символов: , , , .

Итак, по определению

.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значения производной функции в точке обозначается одним из символов: , или .

Пример. Найти по определению производную функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось, то есть . Выберем произвольную точку . Дадим ей приращение , получим новую точку . Находим соответствующее приращение функции :

.

Составим отношение и найдем предел отношения при :

.

Поскольку данный предел существует, то производная функции в точке равна , то есть .

Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону прямолинейного движения . Каждому значению истекшего времени соответствует определенное расстояние до некоторой фиксированной точки . Тогда средняя скорость движения точки за время равна:

, где .

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , то есть . В этом заключается механический смысл производной.

Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Под касательной к графику функции в точке понимают предельное положение секущей , когда точка движется по кривой к точке (см. рис. 55). Нормалью называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной (см. рис. 55).

Пусть касательная образует с положительным направлением оси угол , а секущая – угол . Тогда из прямоугольного треугольника , получаем: . Переходя к пределу при , находим:

,

То есть производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , запишем уравнение касательной к графику функции в точке :

.

Поскольку нормаль перпендикулярна касательной , то ее угловой коэффициент . Поэтому уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

.

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение. Поскольку , то

и искомое уравнение касательной:

или ,

откуда , а искомое уравнение нормали:

или ,

откуда

.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

, ; , , ;

, , ; ;

, , ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

, , ;

, , ;

, , ;

, , .

Пример. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:

.

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

.