Дифференциал функции. Пусть задана функция и можно вычислить , то есть значение этой функции в точке

Пусть задана функция и можно вычислить , то есть значение этой функции в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке .

Если данная функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная к графику функции (см. рис. 56). Тогда приращение функции можно представить в виде:

.

Главную часть линейную относительно приращения независимой переменной в последнем равенстве, то есть выражение называют дифференциалом функции в точке и обозначают . Итак, .

При , то есть при приращение функции приближенно равно дифференциалу :

или .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.

Пример. Вычислить .

Решение. Рассмотрим функцию . Пусть , тогда , откуда .

,

.

Следовательно, .

Ответ: .

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть , так как . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. , тогда .