Точки минимума и максимума

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых точек , таких, что , имеет место неравенство: .

Дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает) на интервале , тогда и только тогда, когда для любого : .

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если:

1) функция определена в некоторой - окрестности точки ;

2) для любого из - окрестности точки справедливо неравенство: (См. рис. 60 и 61).

Точкимаксимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума: если – точка экстремума функции , то в этой точке либо , либо производная не существует.

Достаточные условия экстремума: пусть функция дифференцируема и непрерывна в – окрестности критической точки кроме, быть может, самой точки , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку , то – точка максимума (минимума) функции .

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая ось , кроме точки , то есть .

Находим первую производную:

Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:

или , откуда или .

не существует , откуда .

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические точки ; ; на область определения функции . Они разбивают область на четыре интервала. Определяем знак функции в каждом интервале.