Решение. 1.Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел , кроме

1. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел , кроме , то есть .

2. Поскольку и и , то функция не является четной и нечетной, то есть данная функция общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку , то – уравнение вертикальной асимптоты графика данной функции .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой :

;

.

Следовательно – уравнение горизонтальной асимптоты графика данной функции .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Используя необходимое условие экстремума, находим , откуда или ; не существует , откуда .

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения и определяем знак в каждом из четырех интервалов.

Так как и при переходе через эту точку меняет знак минус на плюс, то – точка минимума функции , .

Так как и при переходе через эту точку меняет знак плюс на минус, то – точка максимума функции , .

Так как при , , , то в интервалах , , функция монотонно убывает.

Так как при , то в интервале функция монотонно возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.

.

Итак, .

Используя необходимое условие перегиба, находим , или , откуда ; не существует , откуда .

Используем достаточные условия перегиба.

.

Так как точки и при переходе через эти точки меняет знак, то – точки перегиба графика функции .

Так как при , , то в интервалах , функция выпукла вниз.

Так как при , , то в интервалах , функция выпукла вверх.

6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными осями:

, откуда ;

.

7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).