Точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (См. рис. 62).

График функции называется выпуклым вверх в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (См. рис. 63).

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:

если в интервале , то график функции является выпуклым вниз в этом интервале; если же , то в интервале график функции – выпуклый вверх.

Пусть функция дифференцируема в интервале и . Точку графика функции называют точкой перегиба этого графика, если существует такая – окрестность точки оси , в границах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).

Необходимое условие перегиба функции в точке : если – точка перегиба функции и функция имеет в некоторой – окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то .

Достаточное условие перегиба функции в точке : если функция непрерывна в – окрестности точки , имеет в точке конечную или бесконечную определенного знака производную , а функция определена в – окрестности точки , кроме быть может самой точки , и меняет знак при переходе через эту точку, то – точка перегиба функции .

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции .

Решение. Область определения данной функции есть множество всех действительных чисел , то есть .

Находим:

;

.

Используя необходимое условие перегиба, находим:

, откуда – точка «подозрительная» на точку перегиба.

Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точку на области и определим знаки слева и справа от точки .

Так как и при переходе через эту точку меняет знак, то – точка перегиба данной функции.

Так как для любого , то в интервале функция выпукла вниз.

Так как для любого , то в интервале функция выпукла вверх.