Вопрос Предел последовательности. Основные теоремы о пределах

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа.

Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве

натуральных чисел.

Число A называется пределом числовой последовательности {an},

если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0,

найдется такое число N (зависящее от ε), что для всех членов

последовательности с номерами n > N верно неравенство:

| а n - A |< ε

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся,

в обратном случае последовательность расходится.

Теоремы:

Теорема 1. Если существуют пределы

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ / ¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

- See more at: https://e-science.ru/node/4868#sthash.QhhJkaVq.dpuf

3 вопрос Предел функции. Основные теоремы о пределе функции.
Замечательные пределы. Односторонние пределы.

Предел функции в бесконечности

Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ∞, если для любого, даже сколь

угодно малого положительного ε, найдется такое число M (зависящее от ε), что для всех x,

по абсолютной величине больших M, выполнено неравенство: | f(x) -A|< ε.

Предел функции в точке

Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь

угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое

число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено

неравенство: | f(x) -A|< ε.