Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

(6)

или к виду

(7)

где Р (х, у) и Q (х, у) − однородные функции одного и того же измерения.

Функция F (x, у) называется однородной измерения m, если для любого t выполняется тождество

F (tx, tу)≡. t^mF (x, у) (8)

С помощью замены, вводимой по формуле , где u (х) – неизвест­ная функция, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющи­ми­ся переменными.

Пример. Найти частное решение уравнения xy' = y ln , удовлетворяю­щее начальным условиям у (1) = 1.

Решение. Разделив обе части равенства на х, получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

Положив в нем у = их и у ′ = и ′ х + и, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные

Интегрируя и подставляя вместо и, получим общий интеграл исходного урав­нения:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям. Подставив в выражение у = хе^{Сх +1} данные значения х = 1; у = 1, получим 1 = е^{Сх +1}, откуда С = −1.

Следовательно, искомое частное решение определяется формулой у = хе ^{1− х} . Найдена интегральная кривая, проходящая через данную точку М ₀(1, 1).