Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого поряд вида

(11)

называется уравнением в полных дифференциалах, елси его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y):

(12)

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

(13)

Общий интеграл уравнения (11) определяется формулой u (x, y) = С, где С – произвольная константа. Функция u (x, y) может быть найдена следующим обра­зом. Так как

то из этого равенства и (12) следуют уравнения

Интегрируя равенство по x при фиксированном y, имеем

Дифференцируем найденное выражение по y и приравниваем к Q (x, y)

откуда

Таким образом

а искомый общий интеграл (11) имеет вид

3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ