Общие сведения. Понятие линейного дифференциального оператора

Определение 1. Дифференциальное уравнение порядка n вида

y ⁽ⁿ⁾(х) + p ₁(x) y ^{(n– 1)}(х) +… +p_{n –1}(x) y' (х) + p_n (x) y (х) = f (x), (1)

где коэффициенты уравнения p_i (x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f (x) – заданные функции, а у (х) – неизвестная функция, называется линейным.

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f (x) ≡ 0, и неодно­родным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о сущест­во­вании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1. Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты pi (x) (i = 1, 2,..., n) и правая часть f (x) непрерывны в интервале (а, b), то при любом х ₀ ∈ (a, b) существует единственное решение, удовлет­воряющее начальным условиям:

у (х ₀) = у ₀, у ′(х ₀) = у ₀₁, ..., у ^{(n –1)}(х ₀) = у _0(n–1). (2)

Обозначим левую часть уравнения (1) через L_n [ y (x)], тогда это уравне­ние можно записать в виде

L_n [ y (x)] = f (x), (3)

а в случае однородного уравнения

L_n [ y (x)] = 0. (4)

Это не просто сокращенная запись линейного дифференциального урав­не­ния (1): L_n [ y (x)] называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО) и задает однозначное соответствие между множеством n раз диффе­ренцируемых функций и множеством непрерывных функций в случае, если ЛДУ удовлетворяет теореме 1. Название «линейный» обусловлено тем, что Ln [ y (x)] удовлетворяет двум свойствам:

1) Ln [ y (x) +h (x)] = Ln [ y (x)] + Ln [ h (x)],

2) Ln [ c y (x)] = c Ln [ y (x)](с − const).

Свойства вытекают из соответствующих правил дифференцирования функ­ций.

Из определения решения дифференциального уравнения и смысла ли­ней­ного оператора имеем: если функция у = φ (х) − решение неоднородного уравнения (3), то Ln [φ(x)] ≡ f (x), а если φ (х) − решение соответствующего однородного уравнения (4), то Ln [φ(x)] ≡ 0. Таким образом, результат действия ЛДО на функцию совпадает с правой частью соответствующего уравнения тогда и только тогда, когда эта функция является решением данного урав­нения.