Основные понятия. Определение 1. Дифференциальным уравнением называется соот­ноше­ние

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется соот­ноше­ние

F (x, y, y', y'',…, y ⁽ⁿ⁾) = 0,

связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или её дифференциалы.

В случае когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифферен­циальное уравнение называется обыкновенным.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в урав­нение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F (x, y, y') = 0, (1)

Если это уравнение можно разрешить относительно y', то оно запишется так:

y' =. f (x, y) (2)

Определение 3. Решением уравнения (1) или (2) называется любая функция у=φ (х), которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной φ' (х), обращает его в тождество.

Если решение задано в неявном виде Ф (х, у) = 0, то оно обычно назы­вается интегралом. График решения дифференциального уравнения – интег­раль­ная кривая.

В простейшем случае, когда правая часть уравнения (2) не содержит у, получается дифференциальное уравнение вида

y' = f (x) (3)

Нахождение его решений есть основная задача интегрального исчис­ления, и все множество этих решений дается формулой

y = ∫ f(dx) + С,

где С – произвольная постоянная.

Отметим, что отыскание решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом действие интегрирования функций называют квадратурой.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения (1) или (2) называется такая функция y = j (x, C), которая при любом значении С являя­ется решением этого уравнения.

Соотношение Ф (х, у, C) = 0, неявно задающее общее решение диффе­рен­циального уравнения, называется общим интегралом этого уравнения.

Определение 5. Частным решением называется любая функция y = j (x, C ₀), которая получается из общего решения y = j (x, C) при конкретном значении С = С ₀. Соотношение Ф (х, у, С ₀) = 0, называется в этом случае част­ным интегралом уравнения.

Теорема 1 (существование и единственности решения). Если в урав­не­нии y ' = f (x, y) функция f (x, y)и её частная производная дf / ду непре­рывны в некоторой области D, содержащей точку М ₀ ( х ₀, у ₀ ), то существует единственное решение этого уравнения y = j (x), удовлетворяющее условию при х = х ₀, у = у ₀.

Условие, что при х = х ₀ функция равняется заданному числу у ₀, называ­ет­ся начальным условием и записывается y|_{x = x 0} = у (x ₀) = y ₀.

Задачу отыскания частного решения по начальным условиям часто называют задачей Коши.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует семейство интегральных кривых. Задание начального условия y|_{x = x 0} = y ₀ означает задание точки Р ₀ = (х ₀, у ₀), через которую должна проходить интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения по начальному условию y|_{x = x 0} = y ₀ геометрически означает, что из семейства интегральных кривых выбираем ту, которая проходит через точку P ₀(х ₀, у ₀). Согласно теореме существования и единственности решения через каждую точку, в которой функция f (x, y) и ее частная производная ∂ f / ∂ y непрерывны, проходит единственная кривая.