Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнением с разделяющимися переменныминазывается уравнение первого порядка вида

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

(4)

или

(5)

Разделив обе части уравнения (4) на f ₂(y) и умножив на dx, будем иметь

Интегрируя левую часть по у, а правую − по х, получим:

Аналогично, разделив обе части уравнении на f ₂(y) j ₁(x) и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (5) в виде

При делении на j ₁(x) и f ₂(y) возможна потеря решений j ₁(x) = 0 и f ₂(y) = 0.

Пример. Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям для уравнения

Решение. Делим обе части уравнения на

Интегрируя получим

или

Подставляя в общий интеграл x = и y = 1

получим частное решение

или