2015-03-22
8330
Рассмотрим, как связаны между собой решения линейного неоднородного уравнения (3) и соответствующего однородного уравнения (4).
Пусть функции j1(х) и j2(х)− решения неоднородного уравнения (3), а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения (4), т. е.
Ln [j1(х)] = f (x), Ln [j2(х)] = f (x), Ln [φ(х)] = 0.
Тогда
Ln [j1(х)− j2(х)] = 0, Ln [j1(х) + φ(х)] = f (x).
Последние равенства означают:
- разность любых двух решений линейного неоднородного уравнения (3) является решением соответствующего однородного уравнения (4);
- сумма решения линейного неоднородного уравнения (3) и решения соответствующего однородного уравнения (4) является решением неоднородного уравнения.
После этих замечаний достаточно очевидной становится следующая теорема.
Теорема 6 (структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3) определяется формулой
(10)
где y*(x) − частное решение неоднородного, а 
− общее решение соответствующего однородного уравнения.
|
|
|
Объединяя формулы (9) и (10), получаем: общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y (x) = y* (x) + C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) + … + Cnyn (x),
где y* (x) − частное решение неоднородного уравнения; y 1(х), y 2(х) ,..., yn (х) − фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; С 1, С 2,..., Сn − произвольные константы.
Рассмотрим метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения, − метод вариации произвольных постоянных.
Основная идея этого метода заключается в том, что решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и общее решение (9) соответствующего однородного уравнения, но при этом константы Сi заменяются на функции Сi (х), т. е.
y (x) = y* (x) + C 1(x) y 1(x) + C 2(x) y 2(x) + … + Cn (x) yn (x), (11)
Для отыскания n неизвестных функций Сi (х) нужно иметь n условий уравнений), причем (n − 1) условие можно выбирать достаточно произвольно, а последнее условие определяется тем, что функция 
должна удовлетворять уравнению (3).
Чтобы подставить функцию в уравнение (3), нужно найти последовательно производные до порядка n, включительно. При вычислении первой производной от для простоты полагаем, что 
и далее:
C учетом этих равенств подстановка функции и ее производных в левую часть уравнения (3) дает
Но каждая из функций уi (x) является решением однородного уравнения (4), значит Ln [ уi (х)] = 0, и последнее условие принимает вид
Объединяя все n условий, получаем систему уравнений относительно неизвестных функций C ′ i (x):
(12)
Определитель Δ системы (12) является определителем Вронского W [ x ] для ФСР однородного уравнения, следовательно, он не равен нулю. Таким образом, система (по теореме Крамера) имеет единственное решение, которое задается формулами
|
|
|
,
где Δ = W [ x ], а Δ i получается из определителя Вронского W [ x ] заменой i -го столбца на столбец свободных членов системы (12). При этом функции C ′ i (x) непрерывны, поэтому, интегрируя их, получаем
(13)
Подставляя функции, найденные по формулам (13), в формулу (11), получим общее решение неоднородного уравнения (3).
Пример 6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения у ′′(х) + у (х) = сos 2 x.
Решение. В примере 4 было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения у ′′(х) + у (х) = 0. Применим метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения неоднородного уравнения. Будем искать его в виде
у (х) = С 1(х) sinx + C 2(х) cosx.
Определитель Вронского
W [ sinx, cosx ] = 
поэтому система (12) для нашего случая имеет вид
Так как
Интегрируя, найдем
Подставим найденные значения функций С 1(х) и С 2(х) в формулу (11) и получим общее решение неоднородного уравнения:
у (х) = (sinx − 1/3 sin 3 x + C 1) sinx + (1/3 cos 3 x + C 2) cosx =
= sin 2 x − 1/3 sin 4 x + 1/3 cos 4 x + C 1 sinx + C 2 cosx.
Здесь
C 1 sinx + C 2 cosx − общее решение однородного уравнения;
у* (х) = sin 2 x − 1/3 sin 4 x + 1/3 cos 4 x − частное решение неоднородного уравнения.
