Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Рассмотрим, как связаны между собой решения линейного неоднород­ного уравнения (3) и соответствующего однородного уравнения (4).

Пусть функции j₁(х) и j₂(х)− решения неоднородного уравнения (3), а φ(х) − решение соответствующего однородного уравнения (4), т. е.

Ln [j₁(х)] = f (x), Ln [j₂(х)] = f (x), Ln [φ(х)] = 0.

Тогда

Ln [j₁(х)− j₂(х)] = 0, Ln [j₁(х) + φ(х)] = f (x).

Последние равенства означают:

- разность любых двух решений линейного неоднородного уравнения (3) является решением соответствующего однородного уравнения (4);

- сумма решения линейного неоднородного уравнения (3) и решения соответствующего однородного уравнения (4) является решением неодно­родного уравнения.

После этих замечаний достаточно очевидной становится следующая теорема.

Теорема 6 (структура общего решения линейного неоднородного диф­­ференциального уравнения). Общее решение линейного неоднородного диффе­ренциального уравнения (3) определяется формулой

(10)

где y*(x) − частное решение неоднородного, а − общее решение соот­ветст­вующего однородного уравнения.

Объединяя формулы (9) и (10), получаем: общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y (x) = y* (x) + C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + … + C_ny_n (x),

где y* (x) − частное решение неоднородного уравнения; y ₁(х), y ₂(х) ,..., y_n (х) − фун­даментальная система решений соответствующего однородного уравне­ния; С ₁, С ₂,..., С_n − произвольные константы.

Рассмотрим метод нахождения решения линейного неоднородного урав­нения, если известно общее решение соответствующего однородного уравне­ния, − метод вариации произвольных постоянных.

Основная идея этого метода заключается в том, что решение неоднород­ного уравнения ищется в том же виде, что и общее решение (9) соответствую­щего однородного уравнения, но при этом константы С_i заменяются на функ­ции С_i (х), т. е.

y (x) = y* (x) + C ₁(x) y ₁(x) + C ₂(x) y ₂(x) + … + C_n (x) y_n (x), (11)

Для отыскания n неизвестных функций С_i (х) нужно иметь n условий урав­нений), причем (n − 1) условие можно выбирать достаточно произвольно, а последнее условие определяется тем, что функция должна удовлетворять уравнению (3).

Чтобы подставить функцию в уравнение (3), нужно найти последовательно производные до порядка n, вклю­чительно. При вычис­лении первой производной от для простоты полагаем, что и далее:

C учетом этих равенств подстановка функции и ее произ­водных в левую часть уравнения (3) дает

Но каждая из функций у_i (x) является решением однородного уравнения (4), зна­чит L_n [ у_i (х)] = 0, и последнее условие принимает вид

Объединяя все n условий, получаем систему уравнений относительно неиз­вестных функций C ′ _i (x):

(12)

Определитель Δ системы (12) является определителем Вронского W [ x ] для ФСР однородного уравнения, следовательно, он не равен нулю. Таким образом, система (по теореме Крамера) имеет единственное решение, которое задается формулами

,

где Δ = W [ x ], а Δ _i получается из определителя Вронского W [ x ] заменой i -го столбца на столбец свободных членов системы (12). При этом функции C ′ _i (x) непрерывны, поэтому, интегрируя их, получаем

(13)

Подставляя функции, найденные по формулам (13), в формулу (11), получим общее решение неоднородного уравнения (3).

Пример 6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения у ′′(х) + у (х) = сos 2 x.

Решение. В примере 4 было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения у ′′(х) + у (х) = 0. Применим метод вариации произволь­ных постоянных для нахождения решения неоднородного уравнения. Будем искать его в виде

у (х) = С 1(х) sinx + C 2(х) cosx.

Определитель Вронского

W [ sinx, cosx ] =

поэтому система (12) для нашего случая имеет вид

Так как

Интегрируя, найдем

Подставим найденные значения функций С ₁(х) и С ₂(х) в формулу (11) и полу­чим общее решение неоднородного уравнения:

у (х) = (sinx − 1/3 sin ³ x + C ₁) sinx + (1/3 cos ³ x + C ₂) cosx =

= sin ² x − 1/3 sin ⁴ x + 1/3 cos ⁴ x + C ₁ sinx + C ₂ cosx.

Здесь

C ₁ sinx + C ₂ cosx − общее решение однородного уравнения;

у* (х) = sin ² x − 1/3 sin ⁴ x + 1/3 cos ⁴ x − частное решение неоднородного урав­нения.