Формула Симпсона. (формула парабол или квадратурная формула)

(формула парабол или квадратурная формула)

Разделим отрезок интегрирования [ a, b ] на четное число отрезков п =2 m. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f (x ₀ ), f (x ₁ ), f (x ₂ ).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу (рис. 8.4.1).

Уравнения этих парабол имеют вид Ax ² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(9.4)

Обозначим .

Если принять х ₀ = – h, x ₁ = 0, x ₂ = h, то

(9.5)

Тогда уравнения значений функции (9.4) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (8.5.1) примет вид:

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.