Примеры. №1. Найти приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций

№1. Найти приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение.

Так как п =2 т, то в нашем примере т =5. По формуле Симпсона получим:

Все дальнейшие расчеты приведены в таблице:

i
xi	–2	–1
y (xi)	2,83	3,87		4,12	4,9	6,56	8,94	11,87	15,23	18,95	22,98

Окончательно получим,

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Для сравнения применим к этому же интегралу формулу трапеций.

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

№2. Вычислить определенный интеграл с помощью формулы прямоугольников, если п =10.

Решение.

По формуле прямоугольников получим: .

Резльтаты вычислений поместим в таблицу:

i
ti		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
y (ti)		0,99	0,96	0,92	0,86	0,80	0,74	0,67	0,61	0,55

Таким образом,

.Точное значение этого интеграла – 0,79.

Найдем точное значение интеграла

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Вывод: формула прямоугольников для данного числа разбиений дала достаточно точный результат (погрешность меньше 1%).

№3. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = и прямыми: y = 0, x = a = 1, x = b =11 методами:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона;

г) аналитическим с использованием формулы Ньютона-Лейбница.

Построить график заданной функции с разбиением отрезка на n = 10 подынтервалов и график функции на отрезке x .

Решение. Составим таблицу разбиения отрезка интегрирования на n = 10 равных участков с длинами интервалов Dx = (табл. 11.1). Во второй строке таблицы представлены увеличенные в 10 раз значения (k = ).

Таблица 9.1 Данные для численных методов

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
	10 7,07 5,77 5,00 4,47 4,08 3,78 3,54 3,33 3,16 3,02

а) Используя формулу прямоугольников с высотами, представляющими собой левые значения функции на концах подынтервалов, найдем приближенное значение площади криволинейной трапеции в виде суммы площадей прямоугольников, очерченных на рис. 11.6 сплошными линиями:

Та же формула прямоугольников, но с подстановкой в нее высот, равных правым значениям функции на концах подынтервалов, дает значение интеграла, равного площади ограниченных пунктиром прямоугольников:

б) По формуле трапеции получим

Следует обратить внимание на очевидное равенство

в) По формуле Симпсона (n=5–количество спаренных подынтервалов)

г) Определим точное значение интеграла, являющегося табличным:

Найдем относительные ошибки определения площадей различными использованными методами численного интегрирования, сравнивая их с точным значением площади, полученным по формулам Ньютона-Лейбница:

Аналогично:

;

Варианты заданий

Для всех вариантов выполнить:

а). С помощью формул прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить интегралы при заданном числе разбиений.

б). Сравнить полученные результаты с точными значениями интегралов, найденными аналитически. Для каждого метода рассчитать значения абсолютной (D) и относительной (e) погрешностей вычислений.

Используемые формулы:

в). Сделать выводы о точности полученных результатов.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Контрольные вопросы

1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?

2. Дайте определение, в том числе в виде математического выражения, неопределенного интеграла.

3. Что такое подынтегральная функция? подынтегральное выражение?

4. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? Метод интегрирования по частям?

5. Что называется определенным интегралом?

6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? экономический смысл?

8. В чем суть применения метода прямоугольников при вычислении определенных интегралов? метода трапеций?

9. Какая аппроксимация подынтегральной функции осуществляется при выводе формулы Симпсона.

10. Могут ли результаты вычисления определенных интегралов по формулам трапеций или прямоугольников быть точнее результатов, полученных по формуле Симпсона?