Равномерное квантование

Процесс квантования осуществляется квантующим устройством КУ, амплитудная характеристика которого приведена на рис. 1.12.

Амплитудная характеристика КУ представляет собой сту-

пенчатую кривую (рис. 1Л2,а). Она может быть представлена в виде сум­мы идеальной линейной АХ и характеристики, представляющей искаже­ния квантования или шумы квантования (рис. 1.12,6). Характеристика имеет две характерных части: участок квантования для и участок ограничения для Соответст-

венно различают шумы квантования, которые представляют случайный процесс с мгновенными значениями . и шумы огра-

ничения.

Пусть плотность вероятности распределения мгновенных значений АИМ-2 сигнала описывается функцией (рис. 1.13) и квантование сиг­нала, как отмечено выше, осуществляется в пределах от для двухполярных сигналов или от 0 до для однополярных сигналов.

Рис. 1.12. Равномерное квантование

Определим среднюю мощность шума квантования на единичном со­противлении. Обозначим через щ и и_м пороги квантования, т.е.границы i- го шага квантования, внутри которого располагается уровень квантования

Рис. 1.13. Плотность распределения мгновенных значений квантуемого сигнала

Ширина шага квантования равна расстоянию между соотвествую-щими порогами

Если число шагов квантования М достаточно велико, т.е. шаг кванто­вания много меньше среднеквадратического значения квантующего сиг­нала, то плотность мгновенных значений сигнала внутри i-ro шага квантования без особой ошибки можно считать равномерной, т.е. заме­нить непрерывную кривую w(u) на рис. 1.13 ступенчатой с числом ступе­ней, равным числу шагов квантования М. Плотность является услов­ной (условие состоит в попадании сигнала в i-й шаг квантования) и равна

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что шумы квантования представляют стационарный и слу­чайный эргодический процесс, статистические характеристики которого, полученные путем усреднения по множеству, совпадают с аналогичными характеристиками, полученными усреднением по времени. Тогда услов­ная средняя мощность шума квантования при условии, что сигнал попада­ет в i-й шаг квантования (рис. 1.13), равна

(1.26)

Определим значение обеспечивающее минимум Для этого най­дем производную по и приравняем ее нулю:

или

Практический смысл имеет только одно из двух решений

(1.27)

Легко показать, что это значение U, соответствует минимальной мощно­сти шума квантования (1.26). Следовательно, выгодно располагать уровень

квантования посредине между границами соответствующего шага. При этом , т.е. максимальная ошибка не превышает половины

шага квантования, а согласно (1.26) Усредним теперь этот

результат по всем шагам квантования. Вероятность того, что сигнал попа­дает в i-й шаг, обозначим через р„ тогда полная средняя мощность шумов квантования при числе уровней квантования М равна

(1.28)

При равномерном квантовании, т.е. когда = const и согласно

(1.28)

(1.29)

так как

Из последнего выражения следует, что при равномерном квантовании мощность шума не зависит от закона распределения квантуемого сигнала, а определяется только величиной шага квантования б.

Находят применение два типа амплитудных характеристик КУ при равномерном симметричном квантовании (рис. 1.12).

При амплитудных характеристиках КУ первого типа (рис. 1.14,а) чис­ло уровней (шагов) квантования М четное, число интервалов - нечетное, ни один из уровней не равен нулю.

Для амплитудных характеристик КУ второго типа характерно нечет­ное число уровней (шагов) квантования и четное число интервалов, один из уровней равен нулю. Для амплитудной характеристики первого типа характерно появление на выходе КУ шумов с амплитудой и мощно­стью при появлении на его входе малейших шумов, так называемых шумов незанятого канала или режим молчания. Максимальная мощность шумов незанятого канала и, следовательно, в 3 раза превышает

мощность шума квантования. Для характеристики второго типа незначи­тельные флуктуации на входе КУ не приводят к появлению на выходе каких-либо шумов.

Рис. 1.14. Амплитудные характеристики квантующих устройств

Определим защищенность сигнала мощностью Р_с от шума квантова­ния мощностью Р_кв, т.е.

Поскольку Р_кв не зависит от величины входного сигнала, то отношение растет с увеличением мощности квантуемого сигнала, а следова­тельно растет и защищенность от шумов квантования Однако при превышении квантуемым сигналом порога ограничения возникают иска­жения (шумы) ограничения, и защищенность от суммарного влияния шу­мов квантования и ограничения снижается.

Групповой АИМ сигнал представляет собой сигналы, поступающие от разных абонентов. Из-за различия их микрофонов, разной длины и типа абонентских линий, их состояния и других факторов эти сигналы могут значительно различаться по мощности. Поскольку параметры последую­щих узлов цифровых систем передачи при обработке всех сигналов оста­ются неизменными, то шаг квантования следует выбирать, исходя из того, чтобы шумы квантования не превышали допустимой величины при ми­нимальном сигнале. В то же время во избежание значительных шумов ограничения порог ограничения должен выбираться исходя из параметров максимального по уровню входного сигнала.

Выберем порог ограничения в к раз большим, чем среднеквадратиче-ское значение напряжения максимального по напряжению сигнала, т.е.

Если шкала квантования строится таким образом, чтобы шумы ограничения не возникали, то величина должна совпадать с пиковым мак­симальным напряжением сигнала. В этом случае коэффициент к по­казывает, во сколько раз пиковое значение сигнала больше его средне-квадратического значения, и численно совпадает с пик-фактором сигнала. Между , величиной шага квантования и числом уровней квантования М может быть установлена следующая связь: при квантовании двухполярных отсчетов

, откуда

при квантовании однополярных отсчетов

Подставив значения из (1.30)...(1.32) в (1.29), получим для

двухполярных сигналов (отсчетов)

для однополярных отсчетов

Мощность сигнала, как случайного процесса, равна его дисперсии

(1,35)

поэтому представляет собой мощность наибольшего входного сиг­нала

Используя (1.33)—(1.35), находим отношение сигнал/шум квантования (ОСШК) и защищенность от шумов квантования для двухполярных сиг­налов

и

(1.36)

для однополярных сигналов

и

(1-37)

При двоичном /и-разрядном кодировании число шагов квантования равно М = 2^т. Подставив это значение в (1.36) и (1.37), получим защи­щенность для двухполярного сигнала

(1-38)

и для однополярных отсчетов

(1.39)

Введем обозначение , под которым будем понимать

относительный уровень входного квантуемого сигнала. Из последнего

уравнения следует

Тогда полученные выражения приводятся к виду для двухполярного сигнала

(1-40) и для однополярного сигнала

(1.41)

Значения коэффициента к для различных сигналов приведены в табл. 1.1.

Тип сигнала	Гармонический	Речевой	Многоканальный групповой телефонный	Телевизионный (однополярный)
к

Подставив в формулы (1.40) и (1.41) значения параметра к, получим формулы для оценки шумов квантования для различных сигналов.

Формулы (1.40) и (1.41) показывают, что защищенность будет мини­мальной для слабых сигналов и растет с увеличением их уровня . При дальнейшем увеличении уровня входного сигнала возрастает вероятность появления шумов ограничения и снижение защищенности от суммарного влияния шумов квантования и ограничения.

Защищенность от шумов квантования как функция от уровня сигнала р_с при фиксированном т (или М) и разных к представляет собой семейст­во параллельных прямых, что будет показано ниже.

Оценку шумов ограничения произведем для сигналов с экспоненци­альным распределением мгновенных значений со среднеквадратическим значением т.е

(1.42)

Мгновенное значение шума ограничения , а его мощность

Подставив в эту формулу (1.42) и (1.30), выполнив интегрирование и несложные преобразования, получим мощность шума ограничения

(1.43)

и защищенность от шума ограничения

(1.44)

Защищенность от шумов ограничения как функция р_с представляет со­бой семейство гипербол, что будет показано ниже.

Из анализа (1.44) следует, что с защищенность растет с увеличением к, что естественно, так как при этом растет порог ограничения и, следо­вательно, уменьшается вероятность его превышения. Поскольку шумы квантования и ограничения независимы, мощность суммарного шума, возникающего при квантовании, равна сумме мощностей этих шумов (1.33) и (1.43), т.е.

(1.45)

суммарная защищенность

(1.46)

На рис. 1.15 приведены зависимости суммарной защищенности от от­носительного уровня р_с входного для различных значений к (различных сигналов, см. табл. 1.1) и М = 128 = 2⁷, т.е. т = 7. При построении зависи­мостей имелось в виду, что для преобладают шумы квантования, а для быстро возрастают шумы ограничения. При преобладают шумы квантования и результирующие характеристики защищенности совпадают с соответствующими прямыми, изображающими зависимости (1.40) и (1.41). При значительную роль начинают играть шумы ог­раничения, и характеристика защищенности , постепенно прибли­жаясь, совпадает с одной из гипербол (1.44). Полученные зависимости имеют явно выраженные максимумы, положения которых несколько смещены от точки, где . Следовательно, при равномерном квантова­нии существует оптимальный уровень входного сигнала р_{с опт}, при кванто­вании которого защищенность будет наибольшей. Отклонение уровня входного сигнала как в сторону уменьшения, так и в сторону уве­личения приводит к снижению защищенности.

По полученным характеристикам может быть определен диапазон уровней входных сигналов D, в пределах которого защищенность будет выше заданной величины или допустимого значения. Значение D легко может быть определено графически, как показано на рис. 1.15.