Обозначим число таких молекул . Тогда
,
где – число молекул в этом объеме.
,
.
Давление, которые создают эти молекул
.
За этот же промежуток времени о грань ударяют молекулы и с другими скоростями. Поэтому давление от всех молекул
.
Для решения этого интеграла воспользуемся интегралом Пуассона
.
Это выражение можно рассмотреть как функцию . Возьмем производную по этому параметру
.
Учитывая, что подынтегральная функция четная, можно записать
.
Тогда
,
.
В курсе школьной и общей физики рассматривается самостоятельно молекулярно-кинетическая теория. В этой модели есть определение давления, температуры.
.
Приравняем полученное выражение для давления с выражением для давления в молекулярно-кинетической теории и выразим
.
Параметр отражает свойства молекулы, а именно маску и свойства окружающей среды – температура.
Таким образом, функция распределения Максвелла полностью определена.
Найти среднее значение (квадрат модуля).
Для решения этой задачи необходимо знать функцию распределения по модулю скоростей. Для её решения целесообразно перейти в сферическую систему координат пространства скоростей.
В пространстве v роль полярного радиуса выполняет модуль вектора v.
- проинтегрируем по
Полученное выражение - вероятность того, что модуль скорости произвольно выбранной молекулы попадает в промежуток . Т.е. в тонкий шаровой слой толщиной . Это и есть то, что мы искали.
Искомая функция распределения по модулю v.