Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе

Статистическая физика.

Лекция №1.

Введение.

Одним из основных понятий статистической физики является понятие «идеального газа». В рамках классической модели под идеальным газом будем понимать газ из мельчайших частиц – молекул, которые находятся в состоянии прямолинейного равномерного движения. В идеальном газе взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует.

Между молекулами возможны и происходят абсолютно упругие удары, при которых частицы обмениваются энергией (потерь энергии не происходит). В общем случае частицы находятся в состоянии хаотического движения, скорости частиц меняются непредсказуемым образом.

Объектом рассмотрения будет являться идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме, при этом температура окружающей среды полагается неизменной (система находится в термостате). В такой системе распределение частиц по скоростям остается неизменным, хотя скорости отдельно взятых молекул меняются.

Нашей задачей является получение аналитического выражения этой зависимости.

Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе.

Введем декартово пространство скоростей. Выделим некоторый интервал скоростей .

Какова вероятность того, что произвольно выбранная молекула будет иметь проекцию скорости, попадающую в этот интервал? Обозначим эту вероятность ,введем функцию . Тогда вероятность будет зависеть от:

. (*)

Рассуждая аналогичным образом для других проекций:

: ;

: .

Выделим на рисунке соответствующую область. Запишем выражение того события, сто произвольно выбранная молекула попадает в объем

: .

Учитывая, что значения проекций скоростей молекул друг от друга не зависят, то вероятность того, что значения проекций в некоторый момент времени попадают в указанные интервалы, можно записать:

- согласно закону теории вероятности, как 3 независимых друг от друга события.

.

С другой стороны: .

Предположим: .

Тогда оба требования удовлетворяются:

.

Выражение через экспоненту противоречит смыслу выражения (*), т. к. с ростом скорости возрастает и вероятность , что в действительности не так.

Установить данное противоречие можно, поставив знак «-»: .

Тогда с возрастанием скорости вероятность будет уменьшаться.

В математике известен - интеграл Пуассона.

Проинтегрируем выражение (*):

.

Данный интеграл отражает вероятность того события, что значение у произвольно выбранной молекулы будет находиться в пределах . Очевидно, что вероятность этого события равна 1. поэтому разделим обе части этого равенства на правую часть:

,

.

Аналогичные рассуждения справедливы для двух других проекций.

;

;

;

.

Где - функция распределения.

Для выяснения вида параметра проведем следующие рассуждения: сделаем рисунок объема, в котором находится газ. Выделим некоторую молекулу, у которой проекция скорости , находящаяся недалеко от боковой грани .

Предположим, что на своем пути молекула не испытывает соударений. Т. к. удар абсолютно упругий, то изменение импульса у частицы после удара будет .

Из школьного курса (II закон Ньютона): ,

;

;

.

Где - сила, с которой молекула действует на стенку, - время.

;

.

Моменту времени можно поставить в соответствие некоторое расстояние . Условно выделим на рисунке соответствующее расстояние и объем. В выделенном объеме кроме выбранной нами молекулы существует еще много других молекул, проекция скорости которых .