При рассмотрении распределения Максвелла полагалось, что внешние силовые поля отсутствуют. Рассмотрим случай, когда идеальный газ находится во внешнем силовом поле. Рассмотрим модельный вариант.
Пусть дан сосуд. В нем находится газ, который разделен на две части – 1 и 2, между которыми действует силовое поле.
Допустим, что в начальный момент времени число молекул было одинаковым в обеих половинках. Объемы тоже одинаковы. Следовательно, концентрации также равны.
Однако, из-за действия силового поля количество молекул, переходящих из второй области в первую за единицу времени будет превышать число молекул, переходящих из первой области во вторую. В результате концентрация молекул в первой области будет возрастать, а во второй – убывать. В итоге число молекул, переходящих из области 2 в область 1 начнет снижаться, а обратный поток увеличится.
Таким образом, через определенный промежуток времени потоки выровняются, и концентрация в областях перестанет изменяться. В конечном итоге в первой области будет концентрация , во второй области - . В таком равновесном состоянии система будет находиться как угодно долго. Нашей задачей является установить связь между этими установившимися концентрациями.
|
|
Выделим в первой области молекулу со скоростью (ось направим вертикально вверх). Предполагается, что молекула находится недалеко от границы и через небольшой промежуток времени достигает её и переходит во вторую область. Выделим соответствующий объёмчик высотой . Будем считать, что он цилиндрический с основанием . Тогда
.
Число молекул попадающих в этот объем и имеющих проекции скорости обозначим через . Все они переходят во вторую область. Тогда
,
где – число молекул в этом объеме, .
.
Пусть - число молекул, переходящих из первой области во вторую за некоторый достаточно малый промежуток времени
.
Проводя аналогичные рассуждения для молекул, переходящих из второй области в первую можно записать, что
.
Так как система находится в состоянии равновесия, то . Значит, эти интегралы можно приравнять
,
.
Обозначим потенциальную энергию, которую приобретает молекула при переходе из первой области во вторую через . Тогда можем записать, что
(2).
(Состояние равновесия не нарушится, если при переходе из первой области во вторую молекула превращается в молекулу , и наоборот).
Возьмем дифференциалы от обеих частей выражения (2)
,
.
Сравним наши интегралы. Если , то .
Выразим из (2)
.
Тогда:
,
.
Подставляя выражение для окончательно получим
(3).
Полученное соотношение (3) называется законом распределения Больцмана.
|
|
В более общем смысле
(3’),
где -потенциальная энергия, которая соответствует области .
Воспользуемся формулой . Выразим и подставим в (3’)
,
,
/
В виде следствия получили формулу, которая носит название барометрической.