2015-03-27
313
При рассмотрении распределения Максвелла полагалось, что внешние силовые поля отсутствуют. Рассмотрим случай, когда идеальный газ находится во внешнем силовом поле. Рассмотрим модельный вариант.
Пусть дан сосуд. В нем находится газ, который разделен на две части – 1 и 2, между которыми действует силовое поле.
Допустим, что в начальный момент времени число молекул было одинаковым в обеих половинках. Объемы тоже одинаковы. Следовательно, концентрации также равны.
Однако, из-за действия силового поля количество молекул, переходящих из второй области в первую за единицу времени будет превышать число молекул, переходящих из первой области во вторую. В результате концентрация молекул в первой области будет возрастать, а во второй – убывать. В итоге число молекул, переходящих из области 2 в область 1 начнет снижаться, а обратный поток увеличится.
Таким образом, через определенный промежуток времени потоки выровняются, и концентрация в областях перестанет изменяться. В конечном итоге в первой области будет концентрация 
, во второй области - 
. В таком равновесном состоянии система будет находиться как угодно долго. Нашей задачей является установить связь между этими установившимися концентрациями.
Выделим в первой области молекулу со скоростью 
(ось направим вертикально вверх). Предполагается, что молекула находится недалеко от границы и через небольшой промежуток времени 
достигает её и переходит во вторую область. Выделим соответствующий объёмчик высотой 
. Будем считать, что он цилиндрический с основанием 
. Тогда
.
Число молекул попадающих в этот объем и имеющих проекции скорости обозначим через 
. Все они переходят во вторую область. Тогда
,
где 
– число молекул в этом объеме, 
.
.
Пусть 
- число молекул, переходящих из первой области во вторую за некоторый достаточно малый промежуток времени
.
Проводя аналогичные рассуждения для молекул, переходящих из второй области в первую можно записать, что
.
Так как система находится в состоянии равновесия, то 
. Значит, эти интегралы можно приравнять
,
.
Обозначим потенциальную энергию, которую приобретает молекула при переходе из первой области во вторую через 
. Тогда можем записать, что
(2).
(Состояние равновесия не нарушится, если при переходе из первой области во вторую молекула превращается в молекулу 
, и наоборот).
Возьмем дифференциалы от обеих частей выражения (2)
,
.
Сравним наши интегралы. Если , то 
.
Выразим из (2)
.
Тогда:
,
.
Подставляя выражение для 
окончательно получим
(3).
Полученное соотношение (3) называется законом распределения Больцмана.
В более общем смысле
(3’),
где 
-потенциальная энергия, которая соответствует области 
.
Воспользуемся формулой 
. Выразим 
и подставим в (3’)
,
,
/
В виде следствия получили формулу, которая носит название барометрической.
