Тема. Основы математической статистики

Калемаев: гл. VII, задачи 7.1-7.6; гл. VIII, задачи 8.1-8.10; гл. IX, задачи 9.1-9.6; гл. X,

задачи 10.1-10.10; гл. XI, задачи 11.1 и 11.2; гл. XII, задачи 12.1, 12.2.

Разберите решение задач 40-45 из данного пособия.

В математической статистике имеется два способа оценки параметров статистических распределений:

- точечный, который указывает лишь точку, около которой находится неизвестный оцениваемый параметр (математическое ожидание, дисперсия);

- интервальный, когда находят интервал, в котором с некоторой, как правило с большой (выбираемой самим исследованием), вероятностью находится неизвестное значение параметра.

На практике часто приходится на основе результатов исследований (испытаний, экспериментов) проверять различные предположения (гипотезы) о характеристиках конкретного массового явления. Проверку гипотез на основе выборочных статистических данных называют статистической проверкой гипотез. Одну из гипотез выделяют в качестве основной, а другую – в качестве альтернативной (конкурирующей). При проверке гипотез могут возникать два рода ошибок:

1) первого рода, состоящая в том, что отвергается основная гипотеза, когда на самом деле она верна;

2) второго рода, состоящая в том, что отвергается конкурирующая гипотеза, когда она верна.

Задача 40. Дано: статистическое распределение (статистический ряд) возраста 11 испытуемых X: 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 лет. Требуется: найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии статистического распределения.

Решение: 1. Точечная оценка математического ожидания находится по формуле

2. Точечная оценка дисперсии (несмещенная, состоятельная и эффективная) определяется по формуле

Задача 41. Дано: выборка (статистический ряд) объёма n=9, точечные оценки и среднего квадратического отклонения . Требуется: с доверительной вероятностью Р_д= 0,95 определить доверительный интервал, в котором находится искомое значение МХ.

Решение: 1. Для значений Р_д= 0,95 и k = n - 1 = 8 по таблице значений коэффициентов Стьюдента (табл. П3) находят значение

2. По формуле находят меру точности определения МХ с помощью оценки .

3. В соответствии с неравенством определяют доверительный интервал

то есть с доверительной вероятностью Р_д= 0,95 искомое значение МХ = 2,54…5,66.

Задача 42. Дано: в результате 15 независимых измерений давления найдена точечная оценка дисперсии . Требуется: с доверительной вероятностью Р_д= 0,95 определить доверительные границы дисперсии DX.

Решение: 1. Расчет значения:

и значения:

2. По таблице ² – распределения (табл. П4) находят критические точки для

k = n-1 = 15-1 = 14; c²₁= 5,63; c²₂= 26,1.

3. По таблице коэффициентов (табл. П5) находят для Р_д= 0,95 и k = n-1 = 14 значения

4. Устанавливают значения доверительных границ дисперсии

т.е. с вероятностью Р_д= 0,95 имеет место неравенство

Задача 43. Дано: выборка значений случайной величины Х объемом N = 100

1,09 1,25 1,19 1,31 1,30 1,05 1,27 1,45 1,31 1,30

1,56 1,36 1,16 1,37 1,11 1,58 1,32 1,48 1,39 1,41

1,58 1,46 1,30 1,36 1,30 1,56 1,12 1,32 1,35 1,34

1,31 1,21 1,29 1,29 1,30 1,30 1,24 1,38 1,27 1,30

1,50 1,34 1,46 1,33 1,17 1,30 1,31 1,45 1,33 1,18

1,31 1,20 1,41 1,38 1,27 1,29 1,20 1,42 1,38 1,39

1,25 1,14 1,34 1,28 1,33 1,39 1,14 1,44 1,38 1,43

1,23 1,26 1,26 1,35 1,22 1,43 1,30 1,26 1,35 1,50

1,46 1,30 1,30 1,27 1,24 1,18 1,28 1,29 1,44 1,25

1,36 1,18 1,36 1,22 1,21 1,38 1,16 1,36 1,24 1,19

Требуется: используя критерий согласия ², проверить гипотезу о законе распределения случайной величины Х на уровне значимости

Решение: 1. Построение вариационного ряда (результаты измерений располагают в порядке возрастания)

2. Вычисление размаха варьирования широты распределения:

3. Определение числа разрядов q:

После округления q=3…8

Поскольку рекомендуется выбирать q нечетным и максимально большим, то принимают q = 7.

4. Определение ширины разряда:

Правую границу последнего разряда принимают равный х_max, при этом ширина будет меньше, чем остальных.

5. Определение границ разрядов и числа n_i – количество результатов измерений, попадающих в каждый разряд (данные сводят в табл. 1)

Таблица 1.

номер разря-да j	Границы разряда	n_j	_Pj	NP_j	(n_j-NP_j)²
x _j	x _j+1
	1,05	1,13		0,1117	11,17	51,40	4,60
	1,13	1,21		0,1366	13,66	2,75	0,20
	1,21	1,29		0,1960	19,60	0,16	0,01
	1,29	1,37		0,2148	21,48	2,10	9,78
	1,37	1,45		0,1698	16,98	0,96	0,06
	1,45	1,53		0,1043	10,43	5,90	0,56
	1,53	1,58		0,0668	6,68	7,18	1,07
	-	-				-

6. Построение гистограммы по полученным значениям n_i. При этом масштабом частости (или частоты ) должна быть не высота, а площадь соответствующего прямоугольника, в то время как масштаб величины Х- линейный. Целесообразно, чтобы высота гистограммы относилась к основанию как 1:2 или 2:3

_0,36 _0,28 _0,20 _0,12 _0,04 _1,05 _1,13_1,21 _{1,29 1,37 1,45 1,53 1,58}_Х

По виду гистограммы выдвигают гипотезу Н₀о нормальном законе распределения случайной величины Х.

7. Определение теоретических вероятностей Р_i попадания случайной величины Х в заданные разряды для чего:

- вычисляют

- определяют теоритические вероятности Р_iпопадания, случайной величины Х в интервалы

где Z_j, Z_j₊₁ – концы выбраных интервалов, выраженные через параметр Z функции Лапласа (табл. П2):

Результаты вычислений сводят в табл. 2, при этом наименьшее значение Z заменяют на , а наибольшее на

Таблица 2.

J	Границы разряда	Z_j	Z_j+1	Ф(Z_j)	Ф(Z_j+1)	P_j
x _i	x _i+1
	1,05	1,13		-1,22	-0,5000	-0,3883	0,1117
	1,13	1,21	-1,22	-0,68	-0,3883	-0,2517	0,1366
	1,21	1,29	-0,68	-0,14	-0,2517	-0,0557	0,1960
	1,29	1,37	-0,14	0,41	-0,0557	0,1591	0,2148
	1,37	1,45	0,41	0,95	0,1591	0,3289	0,1698
	1,45	1,53	0,95	1,50	0,3289	0,4332	0,1043
	1,53	1,58	1,50		0,4332	0,5000	0,0668

Значения функции Ф(Z) приведены в табл. П.2.

8. Определение числа степеней свободы k = q – S – 1. Для нормального закона S = 2, т.к. он характеризуется двумя параметрами МХ и DX. Тогда k = 7 – 2 – 1 = 4.

16. Для k = 4 и заданного по табл.П 4находят точку распределения