Теорема 15.8

Пусть n=1,2,… и

Тогда:

1) Если ряд (В) сходится при k<+∞, то ряд (А) также сходится.

2) Если ряд (А) расходится и при k>0, то ряд (В) также расходится.

(Таким образом, при 0<k<+∞ оба ряда сходится или оба расходится одновременно).

Доказательство

Пусть ряд (В) сходится и К<+∞. Взяв произвольное число ε>0 самому определению предела, для достаточно больших n будем иметь

, откуда

В силу свойства ряда (§3 Теорема 1.4) ряд

будет сходиться вместе с рядом .

согласно теореме 15.7 §6 ряд (А) сходится. Если же ряд (А) расходится и К>0, то в этом случае обратное отношение

имеет конечный предел. Ряд(В) должен быть расходящимся, ибо если бы он сходилься, то по доказанному, сходился бы и ряд (А).