Теорема 15.6 ( Критерии Коши)

Для того чтобы ряд

был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы при любом >0 можно было найти такое N, что при n>N и любом целом p>0 выполняется неравенство

Или иначе

Так как:

Доказательство этой теоремы очевидно: она просто утверждает, что для того, чтобы ряд сходился, необходимо и лостаточно, чтобы последовательность его частных сумм была фундаментальной, то есть сходилась. А это и есть определение сходимости ряда.

Рассмотрим ряд:

и докажем что он сходится. Для этого заметим, что:

= < < ,

А поэтому, взяв для >0 число N такое, что

> , будет для n>N иметь < и

a +a +…+a <