Теорема 16.1

Пусть задан ряд

(16.1)

с положительными членами

А) Если

(n= 0,1,2,…) (16..2)

то ряд (16.1) сходится

Если же

(n= 0,1,2,…) (16.3)

то ряд (16.1) расходится.

Б) Если

, (16.4)

то: 1) Ряд (16.1) сходится, если q<1,

2) Ряд (16.1) расходится, если q>1

3) Если q=1 ответ на вопрос о сходимости ряда или расходимости ряда теорема не дает.

Доказательство

Докажем первую часть теоремы. Для этого представим члены ряда в виде:

…………………..

…………………..

Поэтому из (16.2) следует, что

, q<1

Тогда

, где

есть геометрический ряд с первым членом и знаменателем, который сходится при q<1 (см. Лекция 16 §2). Тогда согласно теореме 15.1 также сходится ряд (16.2).Теперь, пусть выполняется неравенство (16.3). Тогда не трудно заметить, что

(16.5)

Из (16.5) следует, что

Откуда и так как , то ряд расходится, так как необходимое условие сходимости ряда не выполняется