Пример 16. 2 сходимости

Исследовать сходимость ряда

Решение:

. Ряд расходится.

Пример 16.3.. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Проведем дополнительное исследование. Так как

и для всех , то данный ряд расходится в силу (16.3)

§2.Признак сходимости Коши Теорема 16.2

Пусть дан ряд (16.1) с положительными членами

А) Если:

(16.7)

То ряд (16.1) сходится

Если же:

(16.8)

То ряд (16.1) расходится

Б) Если

(16.9)

То:

1) Ряд (16.1) сходится при

2) Ряд (16.1) расходится при

3) Если ответ на вопрос о сходимости или расходимости остаётся открытым.

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы.

Из неравенства (16.7) следует что

(Лекция 16, §2)

Так как в этом случае ряд сходится, то согласно теореме сравнения, также сходится ряд (16.1), так как

Пусть теперь имеет место неравенство (16.8). тогда не трудно заметить что , то есть не выполняется необходимое условие сходимости, и поэтому ряд (16.1) расходится. Таким образом первая часть теоремы доказана.