2015-03-07
351
Рассмотрим сумму 
первых членов ряда (17.1)
Из условия (17.3) следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно сумма 
положительна и возрастает с возрастанием 
.
Запишем теперь эту сумму так:
В силу условия (17.3) каждая скобка положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из 
мы получим число меньше чем 
, то есть 
.
Таким образом мы установили, что при возрастании возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует что имеет предел 
:
,
причем: 
однако сходимость ряда еще не доказана.
Мы доказали только, что последовательность имеет пределом число . Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу .
Рассмотрим для этого сумму 
первых членов ряда (17.1).
Так как по условию (17.2) 
, то следовательно,
Тем самым мы доказали что, 
, как при четном 
, так и при нечетном 
. Следовательно ряд (17.1) сходится.
Пример 17.1 Знакочередующийся ряд
