2015-03-07
392
Пусть 
и 
сумма 
первых членов ряда (17.4) и (17.5). далее пусть 
-сумма всех положительных, а 
-сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых 
членов данного ряда. Тогда:
; 
По условию 
имеет предел 
; 
и 
-положительные возрастающие величины меньше . Следовательно они имеют и этот предел равный 
, то есть знакопеременный ряд (17.4) сходится.
Пример 17.4. Исследовать сходимость ряда
(17.6)
Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды
(17.7)
и 
(17.8)
Ряд (17.8), сходится. Члены ряда (17.7)не больше соответствующих членов ряда (17.8), следовательно, ряд (17.6) тоже сходится.
Применяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (17.5), получим:
Для того чтобы ряд (17.5) абсолютно сходился необходимо и достаточно, чтобы 
существовал такой номер 
, чтобы для всех 
, и всех целых 
выполнялось неравенство:
