Определение 18.2

Если:

1) Последовательность (18.1) имеет в предельную функцию U(х):

2) Для каждого числа ε>0 существует такой независящий от х номер N, что при n>N неравенство:

выполняется сразу для всех , то говорят, что последовательность (18.1) сходится к функции U(х) равномерно относительно х в области X.

Определение 18.2'

Если:

1) Последовательность (18.1) имеет в X предельную функцию U(х).

2) существует не зависящий от х номера N, что при n>N неравенство выполняется сразу то говорят, что последовательность (18.1) сходится к функции равномерно относительно х в области X.

Говорят, что последовательность равномерно сходится на множестве Е, если существует функция U(х), удовлетворяющая условию:

Пусть существует числовая последовательность и номер такие,что

причем Тогда:

Примеры18.2. Доказать, что последовательность равномерно сходится на множестве Е и найти ее предельную функцию U(х), если:

а)

б) E=R

а) В этом случае и

Следовательно,

б) Используя неравенство получаем:

откуда следует, что