Доказательство

Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать, то получаем

……………………………………………………

Пологая в этих равенствах х=а, будем иметь:

, , …, …

и значит, теорема доказана.

Следствие 20.1. Если сумма степенного ряда тождественно равна нулю:

,

то все его коэффициенты равны нулю.

Действительно, Так как , а , то при любом .

Из установленного следствия в свою очередь вытекает

Теорема 20.2. Функция в окрестности одной и той же точке не имеет различных представлений в виде степенного ряда по степеням .

В самом деле, предположим, что в окрестности точки , представляя двумя степенными рядами:

Тогда вычитая второе неравенство из первого, получим:

И значит в силу следствия 20.1,

Из доказанной теоремы вытекает следующее.

Определение 20.1. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (20.1) относительно разности , коэффициенты которого выражаются через функцию и ее производные в точке а по формуле:

, , …, …

Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции в точке .

3. Представление функции ее рядом Тейлора.

Из теоремы существования следует, что если вообще представима степенным рядом, то она представима своим рядом Тейлора, то есть в этом случае ряд Тейлора, составленный для функции , сходится к ней самой.

Пусть некоторая функция на интервале и пусть ее ряд Тейлора сходится на этом же интервале к функции ; естественно спросить: будет ли справедливо равенство

-?

Вообще говоря ответ на этот вопрос отрицательный.

Примером может служить функция:

при и

Это –бесконечное число раз дифференцируемая на всей оси ОХ, причем все производные в точке х=0 равны нулю. Действительно,

, при и

Так как

, так как

И так далее. Следовательно, все коэффициенты Тейлора функции при х=0 равны нулю, и значит, сходится но не к функции , а к функции тождественно равной нулю.

Теорема 20.3 Для того чтобы функция была представлена своим рядом Тейлора относительно точки , необходимо и достаточно, чтобы существовали числа и такие, что имеет все производные в интервале и кроме того, для каждого выполняются равенства:

§ 2. Ряды Тейлора и Маклорена

Если в окрестности точки , то как известно из первого курса формула Тейлора имеет вид:

(20.2)

где -многочлен -ой степени, равный сумме первых () членов формулы Тейлора. При мы получаем формулу Маклорена:

(20.3)

где называется остаточным членом

-формула Лагранжа.

- в форме Коши.

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки а=х, то в формуле Тейлора число может брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член , стремится к нулю при

Тогда переходя к формуле (20.2) к пределу при , получим с права бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора.

(20.4)

Последнее равенство справедливо лишь в том случае если при . В этом случае написанный с права ряд сходится и его сумма равна данной функции

Докажем, что это действительно так.

, где

Так как по условию , то:

.

Но есть -я частичная сумма ряда (20.1): ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (20.1).Следовательно (20.1) справедливо.

(20.1)

Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию только тогда, когда