Остаточный член формулы Тейлора

Пусть . Тогда ей можно представить в соответствии ряд (20.1). обозначим:

(20.4)

(20.5)

И назовем остаточным членом формулы Тейлора для функции в точке . Если существует

(20.6)

То согласно определению сходимости ряда(20.1), он сходится к функции в точке ., то есть

(20.7)

Теорема 20.4 Если функции непрерывны на интервале при , то для любого остаточный член формулы Тейлора для функции в точке можно представить

1. В интегральной форме

(20.8)

2. В форме Лагранжа

(20.9)

§ 3.Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора.

Из полученного выражения для можно в частности, получить такой результат.

Теорема 20.5. Если функция на интервале имеет все производные и можно указать число такое что для , то представима рядом Тейлора на этом интервале.

Пусть , тогда используя формулу (20.9), и по условию теоремы получаем:

(20.10)

Так как при , то из (20.10) следует, что выполняется (20.6), то есть в точке х справедливо равенство (20.7)

Теорема 20.6. Для того чтобы функция была представлена степенным рядом в окрестности точки а достаточно, чтобы существовали числа и , такие что имеет все производные в интервале и

§ 4 Примеры разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.

Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки , то есть в ряд вида

(20.11)

который называется рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты разложения (20.11)для основных элементарных функций найдены.