Тема: Ряд Тейлора для функции .. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора.Примеры разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.
§1. Ряд Тейлора для функции
1.Определение ряда Тейлора. Пусть при х=а имеет конечные производные , то есть в точке . Тогда рядом Тейлора функции относительно точки называют ряд:
= (20.1)
; 0!=1
Если для некоторой функции составлен ряд Тейлора, то говорят что разложена в ряд Тейлора.
2. Теорема единственности. Пусть ряд Тейлора для некоторой функции сходится в интервале и пусть его сумма равна .
Теорема 20.1(единственности). Если в некоторой окрестности точки функция равна сумме степенного ряда:
,
то этот ряд есть ее ряд Тейлора в окрестности точки .