Теорема 23.1

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются, а аргумент складывается. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргумент вычитывается.

Доказательство. Пусть

Z ₁ = r₁ (cos + isin ).Z ₂ = r ₂ (cos + isin )

тогда

Z₁Z₂=r₁r₂ =

= r₁r₂ cos +i sin

Аналогично, легко получить, что

= cos +i sin r ₂

из доказанной теоремы следует правило возведения комплексного числа в целую положительную степень

Z ⁿ= =

Очевидно i^4m=1, i^4m+1=i, i^4m+2=-1, i^4m+3=-i m>0 любое целое число.

Пример 23.7. Число i⁸²+3i²⁷/ i⁴⁴-2i⁵¹ записать в алгебраической форме

Решение. Так как i⁸²=i^4*20+2=-1, i³⁷=i^4*9+1= i

i⁴⁴= (i⁴)¹¹=1 i⁵¹=i^4*12+3= -i, то Z = (-1+3i) /

/ (1+2i)

поэтому

Z= = = =