Пример 23.8

(1-i )³ (1+i)² =( е )³ ()²=

=2³ e 2e =2³(-1)2i=-16i

Отметим, что из геометрической интерпретации (рис23.3) вытекает правило равенства комплексных чисел, записанных в показательной форме: если Z ₁= r₁ Z₂=r₂ то равенство Z ₁=Z₂имеет место тогда и только тогда, когда r ₁= r₂ и = +2k где k- некоторое целое число. Таким образом, Z ₁=Z₂тогда и только тогда, когда

= и arg Z₁=arg Z₂+2 (23..34)

где к – целое число.

С помощью комплексных чисел удобно записать многие формулы аналитической геометрии.

Пусть А₁=(х₁,у₁) А₂=(х₂,у₂) 0=(0,0) - точки на плоскости (х, у) векторы. Этим векторам отвечают комплексные числа Z₁=х₁+iy₁, Z₂ =х₂+iy₂ Имеем:

Z ₁Z₂ = х₁ у₁ +х₂ у₂+i (х₁ у₂-х₂ у₁)

Действительная часть этого выражения равна скалярному произведению векторов

: (а₁ а₂) = Re(Z ₁Z₂),

а его мнимая часть равна ориентированной площади S треугольника с вершинами в точках О, А₁, А₂

S= Im (Z ₁Z₂)=

Пусть А(х, у) – точка плоскости (х, у) найдем ее координаты (х, у) в новой системе координат, полученной из старой поворотом на угол Точке А отвечает комплексное число х + iy=re ⁱТогда

х¹+iy¹=reⁱ⁽^φ^-^α⁾=reⁱ^φ e^-i^α=(x+iy)e^-i^α,то есть

х¹+iу¹= (х +iу)(cos -isin )

Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, находим

Х¹=х cos +у sin ,у¹=-х sin +у cos

Пример 23.9. Записать в тригонометрической форме комплексное число Z=-1-i

Решение. Так как любое комплексное число Z=х+iу (Z¹0) можно записать в тригонометрической форме

Z =r (cos j+ i sin j), где r= = arg Z

Имеем = =2

tg = = =

Следовательно,

-1-i =2

Пример 23.10. Найти действительные корни уравнения cosх +i sinх=

Решение. Данное уравнение корней не имеет. В самом деле, это уравнение равносильно следующим:

Cos х = sin х =

Последние уравнения несовместны, так как

cos²х + sin²х= что невозможно ни при каких значениях х.

Пример 23.11. Найти все комплексные числа Z , удовлетворяющие условию Zⁿ^-1=

Решение. Так как любое число можно записать в показательной форме Z=rе^iφ

r= , = arg Z. Пусть Z=rе^iφ. Тогда =rе^-^iφ согласно условию r^n-1e^i(n-1)^j= rе^-^iφ

или r^n-2eⁱⁿ^φ=1.Откуда rⁿ^-2=1 т.е. r=1 и in =2 i, т.е.

= где k=0,1,2…..n-1, следовательно, Z _k = е (k=0,1,2,… n-1).

Пример 23.12. Вычислить (-1+i )⁶⁰

Решение. Пользуясь формулой Муавра, представим число Z =(-1+i )⁶⁰в тригонометрической форме

(-1+i )⁶⁰=2⁶⁰ =

=2⁶⁰(cos isin 50 )=2⁶⁰

Пример 23.13. Доказать, что многочлен

f(x)= (cos +x sin )ⁿ- cosn - x sinn делится на х²+1

Решим. Имеем х²+1= (х + i)(х - i). По формуле Муавра

f(i)= (cos +i sin )ⁿ- cosn - i sinn = =cosn +i sinn - cosn - i sinn =0.

Аналогично f(-1)=0. Значит f(x) делится на х²+1

§ 4. Извлечение корня из комплексного числа.

Операция извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в целую положительную степень.

Число называется корнем n – й степени (n ) из числа z, если ⁿ=z. Обозначим = =z

Пусть z=r (cos +isin ), r>0,

= (cos +isin ), тогда по определению и теоремы 1.1

ⁿ= ⁿ(cos +isin )=r() отсюда ⁿ=r, n = + . Следовательно

= = , k=0,1,2,…n-1. Здесь =ⁿ , >0 арифметическое значение корня из положительного вещественного числа. Таким образом, если мы берем число (cos +isin ), то при любом целом k положительном или отрицательном n -я степень этого числа равна . Таким образом,