Условия Коши-Римана

Теорема 25.1. Пусть функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) определена в некоторой окрестности точки Z, причем в этой точке функции U (x,y) и V(x,y) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемой функции комплексной переменной f(z) в точке Z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения

(25.8)

Для производной f(z) справедлива формула

f(z)= +i = -i (25.9)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z. Тогда в силу (25.3) имеем

f=f^¢(z) +e() (25.10)

где (r)=0() при . Здесь обозначено

= =

Функцию e(r) комплексной переменной представим в виде , где функции e₁(r), e₂(r) принимают действительные значения. Так как e(r)/r при r , то e₁(r)/r , e₂(r)/r при r , и поэтому

e₁(r)=0(r) e₂(r)=0(r) (r ) (25.11)

Обозначим f= u+i v, f(z)=A+iB u подставим в (25.10), тогда получим

U+i V=(A+iB)( x+i y)+e₁+ie₂ (25.12)

Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые части, получим

U=A x -B y+e₁, V=B x +A y+e₂ (25.13) Тем самым доказано, что функции U,V дифференцируемы в точке (x,y).

Из равенств (25.13) находим

A= , -B= , B= , -A= ,

откуда следуют условия Коши-Римана и формула (25.8), так как

F(z)=A+iB

Достаточность. Пусть функции U(x,y), V(x,y) дифференцируемы в точке (x,y), и выполняются условия (25.8).

Тогда имеют место равенства (25.13), где e₁=0(r), e₂=0(r).Умножая второе из этих равенств на і и складывая с первым, получаем

U +i V=A х -B у +i(В X+A y)+e₁+ie₂

или f=(A+iB)( x+i y)+e₁+ie₂

или f=(A+iB) z+e(r),

где e(r)=0(r), откуда в силу (25.3) вытекает дифференцируемость функции f(z) в точке z. Теорема доказана.