Пример25.3

а) функция f(z)=e^z=e^xcosy+ie^хsiny дифференцируема во всей комплексной плоскости. Так как

=e^xcosy= , =-e^xsiny=-

По формуле находим.

+i =e^xcosy+ie^xsiny=e^z,

т.е.

(e^z)=e^z (25.14)

б) Функции sinz, cosz, shz, chz дифференцируемы во всей комплексной плоскости, и их производные вычисляются по формулам:

(sinz)¢=cosz, (cosz)¢=-sinz, (25.15)

(shz)¢=chz, (chz)¢=shz (25.16)

в) Рассмотрим функцию ²=x²-y²-i2xy,

имеем =2X, =-2y, =-2y, =+2x

Условия (25.8) выполняются только при x=y=0, следовательно, функция ² дифференцируема только в точке z=0

Пусть Z=reⁱ , тогда f(z)= U (z, )+iV(z, ), и условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид

(25.17)

Следовательно,

(z)= (25.18)