double arrow

Интерполяционная формула Ньютона


На практике для аппроксимации функций часто используется интерполяционный полином Ньютона. Этот полином вводится с помощью разделенных разностей различных порядков, найденных по значениям функции y1,...,уN в точках x1,...,xN.

По определению разделенные разности 1-го порядка равны:

(4.36)

Разности 2-го порядка определяются с помощью разностей 1-го порядка:

(4.37)

Пусть найдены разности (n -1)-го порядка. Тогда разности n-го порядка можно вычислить по формуле:

(4.38)

Разделенные разности располагаются в специальной таблице, которая строится по следующей схеме:

х1 у1

f(x2,x1)

х2 у2

f(x3,x2) f(x3,x2,x1)

х3 у3 f(x4,x3,x2,x1)

………………………… f(x4,x3) f(x4,x3,x2) f(x5,x4,x3,x2,x1)

х4 у4 ………………………………… f(x5,x4,x3,x2)……….

……………………… f(x5,x4) f(x5,x4,x3)

х5 у5

Каждое число этой таблицы равно частному от деления разностей двух смежных с ним чисел в столбце слева, на разность хi, соответствующих тем уi, которые лежат на диагоналях, проходящих через это число.

Разделенные разности n-го порядка можно представить в виде [4,7,16,22]

(4.39)

Отсюда следует, что разделенная разность является симметричной функцией относительно узлов х„ т.е. не зависит от порядка расположения входящих в нее переменных х,.




Теперь перейдем к построению интерполяционного полинома Ньютона. Пусть х - произвольная точка отрезка [а,b]. Рассмотрим разность 1-го порядка:

. (4.40)

Из этого выражения можно найти значение функции в точке :

. (4.41)

Разность 2-го порядка имеет вид:

(4.42)

Отсюда:

.(4.43)

Подставив это выражение в (4.41), получим:

. (4.44)

Аналогично разность 3-го порядка:

. (4.45)

позволяет представить (4.44) в виде

.(4.46)

Продолжая процесс подстановки, получим выражение:

, (4.47)

которое можно переписать в следующей форме:

f(x) = PN-1(x) + RN-1(x) , (4.48)

где

Pn-1(x) = y1 + (x-x1)f(x1,x2) + ...+ (x-x1)...(x-xN-1)f(x1,...,xN), (4.49)

Rn-1(x) = (x-x1)...(x-xN)f (x,x1,...,xN). (4.50)

Полином Pn-1(x) является интерполяционным, так как имеют место равенства

f(хj) = PN-1(xj), j = 1,...,N. (4.51)

Этот полином обычно называется интерполяционным полиномом Ньютона, a Rn-1(x) - остаточным членом формулы Ньютона. Так как по значениям функции в некоторых точках можно построить единственный интерполяционный полином, то полином Ньютона путем перегруппировки его членов можно преобразовать в интерполяционный полином Лагранжа и наоборот. Однако, в отличие от интерполяционного полинома Лагранжа, для которого каждое из слагаемых суммы (4.16) зависит от всех узлов интерполяции, произвольный m-й член полинома Ньютона зависит только от т первых узлов. Поэтому для полинома Ньютона добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения первоначальных.

Остаточный член формулы Ньютона (4.50) представляет собой истинную погрешность метода интерполирования. Если известно, что функция f(x) N раз непрерывно дифференцируема, то:



, (4.52)

где ξ — некоторая точка отрезка [а,b], а остаточный член:

. (4.53)

На практике производные функции f(x) обычно известны и поэтому остаточный член часто оценивается непосредственно по формуле (4.50).

Если все узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е. xi = x1+ (i- 1)h, то разделенные разности имеют вид:

, (4.54)

где

Отсюда следует, что интерполяционную формулу Ньютона можно представить в следующем виде:

. . (4.55)

В результате мы получим интерполяционную формулу, которая называется интерполяционной формулой Ньютона интерполирования вперед. Эта формула имеет наибольшую точность в начале таблицы.

На практике часто используется интерполяционный полином Ньютона, представленный в несколько иной форме. Так как при построении интерполяционного полинома Ньютона порядок расположения узлов не играет роли, то формулу (4.49) можно представить в виде

(4.56)

Если узлы хj являются равноостоящими, то из формулы (4.56) получим формулу Ньютона интерполирования назад [20]:

(4.57)

которая имеет наибольшую точность в конце таблицы.

При построении интерполяционных полиномов Ньютона можно использовать таблицу разностей, каждый элемент которой

х1 у1

∆ у1

х2 у2 2у1 (4.58)

∆ у2

х3 у3

……………………………………..∆N-1y1

……………………………………………….

……………………… 2у1………..2уN-2

хN уN

В формуле (4.55) используется верхняя (нисходящая) строка этой таблицы, а в формуле (4.53) - нижняя (восходящая) строка таблицы.



Рассмотрим пример применения интерполяционного полинома Ньютона при обработке экспериментальных данных.

Аппроксимируем с помощью формулы Ньютона интерполирования вперед зависимость тяга несущего винта вертолета Ми-6 от высоты висения у земли. Для построения интерполяционного полинома второй степени выбираем значения тяги в трех точках. Значения тяги и высоты заданы в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

j
Hj, м
Tj, m 35.9

Строим таблицу разностей вида (4.58)

5 39

3,1

15 35,9 2,2

0,9

25 35

Тогда формула интерполирования вперед имеет вид

.

После элементарных преобразований получим:

.

Очевидно, что в узлах интерполяции . Вычисления показали, что погрешность аппроксимации в других точках не превышает 150кг.

Кроме рассмотренных выше методов интерполяции функций, в современной вычислительной математике имеется много различных методов решения интерполяционных задач. Среди них в первую очередь следует выделить методы построения интерполяционных формул Гаусса, Стерлинга и Бесселя и т.д. Достаточно подробное изложение теории интерполяции, а также примеры аппроксимации можно найти в работах [20].







Сейчас читают про: