Интерполяционный полином Лагранжа. Пусть дана таблица значений. Требуется составить полином y=f(x) степени m n-1, который принимал бы заданные значения yi при соответствующих значениях xi, т.е. yi=f(xi) (i=1,2,…n). Иными словами, график этого полинома должен проходить через заданные n точек Mi(xi,yi). - вспомогательный многочлен n-ой степени, где xi – из таблицы. Формула для вычисления:
(37)
Интерполяционная формула Ньютона. Формулы конечных разностей:
(38)
- разность первого порядка,
(39)
- разность второго порядка,
(40)
- разность -го порядка.
Имеем таблицу 1 конечных разностей.
Таблица 1 – Таблица конечных разностей
… | |||||||
… | |||||||
… | … | … | |||||
… | … | ||||||
… | |||||||
Формула Ньютона:
(41)
Рассмотрим типовые задания с подробными решениями.
Пример 1. Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице 2.
Таблица 2 – Данные задачи
x | ||||
y |
Вспомогательный многочлен: . Найдем его производную:
. Найдем значения производной при x из таблицы:
.
Подставляем полученные данные в формулу Ньютона:
Пример 2. Данные представлены в таблице 3.
Таблица 3 – Данные задачи
x | |||||||
y |
Найти значение y при x=3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Составим таблицу 4 конечных разностей.
Тогда,
.
Напишем интерполяционный многочлен Ньютона
+
Получим ;
.
интерполяционный многочлен для этой таблицы: .
Таблица 4 – Таблица конечных разностей