Примеры. а) Вычислить определенный интеграл

а) Вычислить определенный интеграл

Решение.

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но в табличном интеграле под корнем x², а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Поэтому совершенно естественно напрашивается замена: t=x²

Находим новые пределы интегрирования.

Сначала подставляем в выражение замены t=x² нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены t=x² верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

b) Найти определенный интеграл методом замены переменной

Решение.

Проведем замену переменной:

Новые переделы интегрирования:

c) Найти определенный интеграл методом замены переменной

Решение.

Проведем замену переменно:

Новые пределы интегрирования: