Характеристики систем обслуживания

При рассмотрении СМО будем использовать следующие обозначения:

– интенсивность входящего потока требований;

– интенсивность обслуживания требований одним прибором;

– коэффициент использования обслуживающих приборов системы;

– число требований в СМО. Это число будем называть состоянием системы;

– математическое ожидание (м.о.) числа требований в СМО;

– м.о. числа требований в очереди СМО;

– м.о. числа свободных приборов в СМО;

– м.о. числа занятых приборов в СМО;

– м.о. длительности пребывания требований в СМО;

– м.о. длительности обслуживания требований прибором ;

– м.о. длительности пребывания требований в очереди СМО;

– стационарная вероятность пребывания в СМО точно требований.

Приведем несколько наиболее важных соотношений

, , .

К этим соотношениям можно добавить закон сохранения среднего потока требований, согласно которому в стационарном режиме СМО интенсивность входного потока равна интенсивности выходящего потока.

Большое значение для исследования открытых систем, когда входящие требования независимы от входящих, имеет формула Литтла

, .

Система

Система содержит один прибор, длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром ; в систему поступает пуассоновский поток требований, длительность интервала между последовательными требованиями имеет экспоненциальное распределение с параметром ; входящие в систему требования поступают в очередь неограниченной длины; очередное требование на обслуживание выбирается из очереди по правилу .

Система – простейшая нетривиальная система, представляющая интерес. Она может быть описана с помощью процесса гибели и размножения, если предположить интенсивности и постоянными, то есть , для всех значений . Пространство состояний является счетным.

Подставляя значения интенсивностей и в равенство

, , (1)

получим

, или , . (2)

Необходимое и достаточное условие существования стационарного режима системы просто сводится к выполнению неравенства . Из выражения

определим

.

Так как , используя равенство

,

имеем

.

Обозначив через коэффициент использования системы, получим, что для системы коэффициент . Следовательно, согласно условию стационарности требуется, чтобы . Из равенства (2) окончательно определим, что

, .

Важной характеристикой СМО является м.о. числа требований , пребывающих в системе. Принимая во внимание равенство

,

запишем

.

Таким образом,

.

Число требований, находящихся в очереди, очевидно, , если и , если . Вероятность того, что в очереди находится требований равна при , а при она равна . Следовательно,

.

Из формулы Литтла и получим

,

.

Система

Рассмотрим систему, в которой всегда имеется свободный прибор для каждого вновь поступающего требования. В частности, положим , . Из равенства (1) имеем

, или , .

Вероятность

.

Таким образом,

, .

Следовательно, число требований, находящихся в системе, описывается распределением Пуассона.

Математическое ожидание числа требований в системе

.

Заметим, что выражение можно вывести из формулы Литтла , учитывая, что .

Условие существования стационарного режима СМО в данном случае задается неравенством .