Уравнения Лапласа и Пуассона

Многие стационарные, т.е. не изменяющиеся во времени физические процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в простейшем случае (однородной среды и отсутствия источников) – уравнением Лапласа, которое для трех направлений координат можно записать в виде:

, (4.1)

где – искомая функция координат.

В операторной форме уравнение Лапласа может быть представлено следующим образом:

, (4.2)

где – оператор Лапласа.

В общем случае (неоднородная среда и наличие источников внутри рассматриваемой области) аналогичные физические процессы описываются уравнением Пуассона, которое в векторной форме имеет вид:

, (4.3)

где – искомая функция; , – некоторые функции независимых переменных.

Уравнение (4.3) может быть записано в частных производных как:

, (4.4)

или в операторной форме как:

, (4.5)

где – оператор Наббла, определяемый выражением:

. (4.6)

Из выражений (4.3) – (4.5) видно, что уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа для случая отличной от нуля правой части. Покажем это на примере задачи о распространении стационарного теплового поля.

Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме , ограниченном замкнутой поверхностью трехмерного пространства .

Процесс теплопроводности или кондукции определяется законом Фурье, согласно которому вектор плотности теплового потока пропорционален градиенту температуры :

, (4.7)

где – коэффициент теплопроводности.

Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности.

Как правило, цель стационарной задачи теплопроводности сводится к необходимости нахождения зависимости температуры от координат при известном распределении плотности источников тепла . Поскольку функция не входит непосредственно в уравнение Фурье (4.7), необходимо выполнить ряд предварительных преобразований.

Из приведенного выше определения плотности теплового потока следует, что суммарное количество тепла , прошедшее в единицу времени через замкнутую поверхность , ограничивающую объем , в общем случае выражается интегралом:

, (4.8)

где – вектор, модуль которого численно равен площади соответствующего бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к этому элементу; – скалярное произведение векторов и ; – угол между ними.

Суммарное количество тепла , выделяющееся в единицу времени в объеме , ограниченном поверхностью , определяется интегралом:

. (4.9)

В данном случае уравнение баланса тепла должно отражать факт равенства количества тепла и количества тепла :

. (4.10)

Согласно теореме Остроградского-Гаусса:

. (4.11)

Тогда, подставив (4.11) в (4.10), получим:

; (4.12)

. (4.13)

Подставляя в уравнение (4.13) закон Фурье (4.7), получим уравнение для стационарной задачи теплопроводности в векторной форме:

. (4.14)

Если источники тепла отсутствуют и среда однородна , уравнение (4.14) можно переписать в виде:

. (4.15)

Учитывая, что по определению градиент некоторого скалярного поля определяется выражением:

, (4.16)

где , , – единичные векторы (орты) в направлениях соответствующих координатных осей, а дивергенция некоторого векторного поля – выражением:

, (4.17)

где , , – проекции вектора на соответствующие оси координат, уравнение (4.15) можно переписать в частных производных:

(4.18)

или в операторной форме:

, (4.19)

т.е. в виде уравнения Лапласа.

При наличии в объеме источников тепла и в случае неоднородной среды уравнение (4.14) в частных производных можно переписать в виде:

, (4.20)

или в операторной форме:

. (4.21)

Если среда однородна , то можно вынести за знак частной производной в выражении (4.20) или за знак оператора Наббла в выражении (4.21). В результате получим частный случай уравнения Пуассона в виде:

, (4.22)

или в операторной форме:

. (4.23)

Таким образом, сравнивая уравнения (4.19) и (4.23), можно сделать вывод, что уравнение Лапласа является частным случаем уравнения Пуассона для случая равенства нулю правой части (отсутствие источников и однородность среды).