Граничные условия. Пусть область ограничена поверхностью (рис

Пусть область ограничена поверхностью (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Ограниченная область трехмерного пространства

Типичной для уравнения Лапласа является задача: найти функцию , , гармоническую в и удовлетворяющую на граничному условию, которое может быть одного из следующих видов:

1. , , – первая краевая задача, или задача Дирихле;

2. , , – вторая краевая задача, или задача Неймана;

3. , , – третья краевая задача.

Здесь , , , – заданные функции; – производная в направлении внешней нормали к поверхности .

Геометрический смысл задачи Дирихле для одномерного уравнения Лапласа тривиален. Одномерные гармонические функции суть прямые линии, и задача Дирихле сводится к следующей: провести прямую через две точки и (рис. 4.2).

В зависимости от того, где ищется решение задачи – внутри области, ограниченной поверхностью или в области, расположенной вне поверхности , различают внутренние и внешние краевые задачи для уравнения . Если границей области является плоскость, то говорят, что граничная задача ставится для полупространства (пример: задача о тепловом состоянии однородного тела – внутренняя задача Дирихле, а электростатическая задача – внешняя).