2015-03-07
3569
Задача ставится так: найти функцию 
, удовлетворяющую внутри круга 
радиуса 
с центром в начале координат уравнению Лапласа:
, (4.34)
непрерывную в замкнутой области 
и принимающую заданные значения на границе круга:
, (4.35)
где 
– заданная периодическая функция с периодом 
.
Из непрерывности решения в следует его ограниченность в .
Уравнение (4.34) в полярных координатах имеет вид:
. (4.36)
Будем искать частные решения уравнения (4.36) в виде:
. (4.37)
Подставляя 
в форме (4.37) в уравнение (4.36), умноженное на 
, получим:
,
или 
,
откуда получаем два уравнения:
, (4.38)
. (4.39)
Из (4.38) находим 
, так что:
, . (4.40)
А при 
получаем 
.
Уравнение (4.39) является уравнением Эйлера. Полагая в этом уравнении 
, при получаем:
.
Отсюда 
, 
и, следовательно:
, . (4.41)
При из (4.39) находим:
.
Так как 
и 
при 
, то для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить 
, 
, т.е. взять 
, 
, 
.
Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда:
, (4.42)
где коэффициенты 
, 
определяются из граничного условия (4.35).
При 
имеем:
. (4.43)
Запишем разложение в ряд Фурье:
, (4.44)
где
, 
, 
. (4.45)
Сравнивая ряды (4.43) и (4.44), получаем:
, 
, 
, 
. (4.46)
Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга представимо в виде ряда:
, (4.47)
где коэффициенты 
, 
, 
,…, 
, 
,… определяются по формулам (4.45).
При 
ряд (4.47) можно дифференцировать по 
и 
любое число раз, и, значит, функция из (4.47) уравняет уравнению .
Решение для внешней задачи Дирихле следует искать в виде ряда:
, (4.48)
где коэффициенты , определяются из граничного условия 
.
Для кольцевой области 
, образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 
радиусов 
и 
(рис. 4.6), решение задачи ищется в виде ряда:
, (4.49)
коэффициенты которого 
, 
, , , 
, 
, 
определяются из граничных условий:
, 
.
Рис. 4.6. К решению задачи Дирихле для кольца
Пример. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге 
, принимающее на границе круга значения 
.
Решение задачи будем искать в виде ряда:
.
Найдем коэффициенты ряда по формулам (4.45) и (4.46).
.
.
.
Итак, получили решение в виде ряда:
.
